1.Двойные шахматы.
Двое игpают в шахматы по следyющим пpавилам: сначала делают два хода белые, потом- два хода чеpные, потом снова два хода белые и т.п. Если одномy из коpолей объявлен шах (допyстим, чеpномy), то в этом слyчае ход сpазy же пеpеходит к чеpным, но они имеют пpаво только на один ход, чтобы yйти от шаха (если yйти за один ход невозможно, то, как обычно, мат.) Задача: доказать, что в такой паpтии белым пpи наилyчшей игpе гаpантиpована как минимyм ничья.
Ответ: Если при наилучшей игре со стороны белых существовала бы стратегия для черных, при которой белые проигрывают, то белые могли бы первым ходом выйти конем и вернуться им в начальную позицию (так, чтобы позиция не изменилась). Теперь черные попадают в ситуацию, идентичную изначальной позиции белых с точностью до зеркальной симметрии. То есть, белые, применив зеркальный аналог выигрышной стратегии черных, могут победить. Получается противоречие. Значит белым гарантирована, как минимум, ничья.
2.Простой (и самый распространенный) вариант игры "ним":
Hаверное все знают игру, где на стол кладутся несколько спичек (Как вариант, карт) и по очереди противники забирают 1, 2 или 3 спички. Кто берёт последний - проиграл. Есть ли какая-нибудь стратегия правильной игры?
Ответ: Стратегия правильной игры - оставлять после своего хода 1 + 4*х карт. Если оба соперника играют придерживаясь этой стратегии, то:
1. Если х - нечетно, то выигрывает первый игрок (который берет карты первым)
2. Если х - четно, то второй.
Ответ: Обе нельзя. Покрасим клетки прямоугольника и треугольника в шахматном порядке. У прямоугольника по 14 черных и белых клеток, а у треугольника 16 черных и 12 белых.
Все тетрисовые фигурки, кроме "T", в любом положении покрывают по две белых и черных клетки, а "Т" - 3 белых и одну черную, либо наоборот. Значит, комплект в любом положении покрывает 15 клеток одного цвета и 13 другого.
